Otvorený problém · 1859 → dnes

Riemannova hypotéza

Bernhard Riemann v roku 1859 na ôsmich stranách naznačil, že rozloženie prvočísel riadi jediná funkcia komplexnej premennej — a že všetky jej „zaujímavé“ nuly ležia na jednej priamke. Nikto to dodnes nedokázal ani nevyvrátil.

Každá netriviálna nula funkcie ζ(s) má reálnu časť presne ½.

10¹³overených núl — všetky na priamke

0nájdených protipríkladov

1 000 000 $Clay Millennium Prize

…núl, ktoré si táto stránka práve spočítala (za … ms)

Nič tu nie je predpočítané: hodnoty ζ(s) aj polohy núl počíta váš prehliadač Borweinovým algoritmom pre Dirichletovu η funkciu.

Prečo funkcia, keď ide o prvočísla

Základ je Eulerov objav z roku 1737 — jeden a ten istý objekt sa dá napísať ako súčet cez všetky čísla aj ako súčin cez všetky prvočísla:

ζ(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + … = ∏_{p prvočíslo} ( 1 − p^−s )⁻¹

Rovnica platí pre Re(s) > 1, no funkciu možno jednoznačne rozšíriť na celú komplexnú rovinu (okrem pólu v s = 1). Tým sa otázka „ako husto ležia prvočísla“ mení na otázku „kde má ζ nuly“. Nuly v záporných párnych číslach −2, −4, −6, … sú triviálne a nikoho nezaujímajú. Všetky ostatné ležia v páse 0 < Re(s) < 1 — a hypotéza tvrdí, že sú namačkané presne na jeho osi.

1 · Mapa funkcie ζ v komplexnej rovine

Každý bod obrázka je jedno komplexné číslo s, jeho farba je hodnota ζ(s): odtieň udáva uhol (fázu), jas veľkosť. Nuly sú čierne body, ku ktorým sa zbiehajú všetky farby; pól v s = 1 je biely. Prejdite myšou po obrázku a čítajte hodnoty.

začiatok t 0 výška okna 40

…

odtieň = fáza arg ζ(s) (červená → 0, tyrkysová → π) čierna = nula biela = veľmi veľká hodnota / pól kritická priamka σ = ½

Čo si všimnúť: v pravej časti (σ > 1) je obrázok pokojný — súčin cez prvočísla tam konverguje a nula tam byť nemôže. Vľavo od pásu vidno pravidelný rad triviálnych núl. A v samotnom páse ležia všetky čierne body presne na prerušovanej čiare.

2 · Život na kritickej priamke

Na priamke s = ½ + it sa dá ζ otočiť na reálnu funkciu — Hardyho Z(t) = e^iθ(t) ζ(½ + it). Platí |Z(t)| = |ζ(½+it)|, takže každý priesečník s vodorovnou osou je nula zeta funkcie. Hardy roku 1914 dokázal, že takýchto priesečníkov je nekonečne veľa — to však ešte nevylučuje nuly mimo priamky.

posun t 0 šírka okna núl v okne: 0

3 · Ako vyzerá ζ(½ + it) pri pohľade zhora

Namiesto grafu vykreslíme priamo dráhu hodnoty ζ(½ + it) v komplexnej rovine, ako sa t zväčšuje. Krivka sa točí okolo počiatku a zakaždým, keď ním prejde, narazili sme na nulu. Riemannova hypotéza hovorí, že tieto prechody sú jediné nuly, ktoré ζ v kritickom páse má.

svetlosť krivky rastie s t aktuálna hodnota ζ(½+it) počiatok — prechod cezeň znamená nulu

4 · Nuly sú hudba prvočísel

Toto je jadro veci. Čebyševova funkcia ψ(x) počíta prvočísla (presnejšie ich mocniny, každú s váhou ln p) a rastie po schodoch — schod je práve tam, kde sedí prvočíslo. Riemannova explicitná formula dáva tie isté schody ako súčet hladkej priamky a jednej vlny na každú nulu:

ψ(x) = x − ∑_ρ x^ρ/ρ − ln 2π − ½ ln(1 − x⁻²)

Posuňte jazdec: pri nule núl je to len šikmá priamka. Každá pridaná nula je jeden tón — a spolu skladajú presne tie schody, kde ležia prvočísla. Ak by čo i len jedna nula ležala mimo priamky σ = ½, jej vlna by rástla rýchlejšie než √x a prvočísla by boli rozhádzané oveľa nepravidelnejšie, než ich poznáme.

počet použitých núl 0 bez núl je to len hladká priamka x − ln 2π

skutočná ψ(x) — schody prvočísel rekonštrukcia z núl hlavný člen x − ln 2π

5 · Koľko núl je do výšky T

Riemann vo svojej práci uviedol aj vzorec pre počet núl do výšky T: N(T) ≈ θ(T)/π + 1. Modré schody sú nuly, ktoré táto stránka naozaj našla; žltá krivka je Riemannov odhad. To, že sa tie dve línie držia pri sebe na desatinu presne, je zároveň kontrola, že hľadanie núl nič nepreskočilo.

skutočne nájdené nuly Riemann–von Mangoldtov vzorec

6 · Prvých 30 núl

Vypočítané bisekciou na znamienkových zmenách Z(t); posledný stĺpec ukazuje, ako blízko nule je Z v nájdenom bode — kontrola presnosti. Prvá nula γ₁ = … je známa konštanta, dá sa porovnať s ktoroukoľvek tabuľkou.

nula	poloha s = ½ + iγ	medzera od predchádzajúcej	\|Z(γ)\|

Prečo na tom záleží

Hypotéza nie je zberateľská kuriozita. Viac než tisíc publikovaných viet začína slovami „predpokladajme, že platí Riemannova hypotéza“ — ich dôkaz sa dovtedy vezie na nej. Rozdiel je v presnosti: bez hypotézy vieme o počte prvočísel do x povedať pomerne hrubý odhad, s hypotézou by chyba klesla rádovo na √x · ln x, čo je najlepšie možné.

Praktický dosah je aj mimo teórie čísel: odhady na rozloženie prvočísel stoja pod analýzou algoritmov na testovanie prvočíselnosti a faktorizáciu, teda pod tým, čo drží dnešnú asymetrickú kryptografiu. Nuly ζ majú navyše štatistiku vlastných hodnôt náhodných hermitovských matíc — rovnakú, akú vykazujú energetické hladiny ťažkých atómových jadier. Prečo, nikto poriadne nevie.

Ďalej: Clay Mathematics Institute — zadanie problému · Odlyzkove tabuľky núl · Riemann, Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (1859).